«Крошка сын к отцу пришел, и спросила Кроха: «А какие бывают углы?». Но отец, ответ забыл. Это очень плохо!».
В нашей статье мы предлагаем вспомнить уроки математики и найти ответы на вопросы Крохи.
Что такое угол
Что такое угол конечно легче показать, чем объяснить. Из начальных классов мы знаем, что плоский угол:
- Это геометрическая фигура.
- Она образована двумя сторонами – лучами.
- Лучи выходят из одной вершины – точки.
- Измеряется в градусах.
То есть, если на любой плоскости поставить точку, а затем из этой точки вывести два луча (луч – прямая имеющая начало, но не имеющая конца), то получим угол, и не один, а два. Это потому что, лучи поделили плоскость на две части. У нас образовалось два угла - внутренний и внешний.
Обозначение углов
Обозначается угол в математике вот таким значком – «˪» и греческими буквами: β, δ, φ. Так же обозначать углы можно маленькими или большими латинскими буквами. Строчными (d, c, b) обозначают лучи образующие угол, следовательно, название будет складываться из двух букв и значка - ˪ab. Большие латинские буквы обозначают три точки угла: две на сторонах и одна вершина (˪ DEF). Причем, буква вершины всегда будет находиться в середине названия, а как читать DEF или FED, это уже разницы не имеет.
Виды углов
В зависимости от градусов (мерной величины) углы разделяют на:
- Острые (> 90 градусов);
- Прямые (ровно 90);
- Тупые (180);
- Развернутый (равен 180);
- Невыпуклый (более 180, но менее 360);
- Полный (360);
Все углы, которые не являются прямыми или развернутыми, называются косыми.
Еще, какие есть углы?
- Смежные – одна сторона у них общая, а другие лежат, не совпадая, на одной плоскости. Сумма таких углов всегда будет равна 180.
- Вертикальные – углы образованные двумя пересекающимися прямыми и общих сторон они не имеют, но их лучи выходят с одной точки. То есть, сторона одного угла есть продолжение другого. Такие углы равны.
- Центральный – угол, вершина которого является центром окружности.
- Вписанный угол. Его вершина находится на окружности, а лучи, образующие его, пересекают эту окружность.
Теперь вы знаете, какой прямой угол, а акже сможете отличить, какой угол острый. Запомнить это не сложно, да и другие виды углов тоже имеют характерные названия.
Когда два луча (AO и OB ) исходят из одной точки, то фигура, сформированная этими лучами (вместе с частью плоскости, ограниченной ими), называется углом .
Лучи, образующие угол называются сторонами . Точка из которой они исходят - вершиной угла.
Стороны угла следует представлять себе бесконечно продолженными от вершины.
Угол обыкновенно обозначается тремя буквами, из которых средняя ставится у вершины , а крайние у каких-нибудь точек сторон. Например, говорят “угол АОВ или угол ВОА ”. Но можно обозначать угол и одной буквой, поставленной у вершины, если при этой вершине других углов нет. Мы иногда будем обозначать угол цифрой, поставленной внутри угла у вершины. Слово “угол” на письме часто заменяется знаком / .
Когда два луча исходят из одной точки , то строго говорят, что они образуют не один угол, а два угла.
Эти два угла равны друг другу лишь в том случае, когда лучи AO и OB составляют одну прямую .
Такой угол называют развернутым углом .
Два угла считаются равными углами , если при наложении они могут совместиться.
Мы принимаем как очевидное, что внутри всякого угла из его вершины можно провести луч (и притом только один), который делит этот угол пополам. Такой луч называется биссектрисой угла .
Два угла (AO B и BOС ) называются смежными , если одна сторона у них общая, а две другие стороны составляют прямую линию .
Черт 1. Черт.2
Когда два смежных угла равны (черт. 2), то общая сторона их OB называется перпендикуляром к прямой AC , на которой лежат другие стороны.
Если же смежные углы неравны (черт. 1), то общая сторона OB называется наклонной к AC .
В том и в другом случае точка O называется основанием (перпендикуляра или наклонной).
Из всякой точки прямой можно, по ту и другую сторону от этой прямой, восставить к ней перпендикуляр и притом только один.
Каждый из равных смежных углов называется прямым . Прямой угол представляет собой постоянную величину равную 90 0 (ее обыкновенно обозначают знаком d , т.е. начальной буквой французского слова «droit» - прямой). Вследствие этого обыкновенные углы сравнивают по величине с прямым углом.
Всякий развернутый углом равен 2 d = 180°.
Всякий угол (АОС ), меньший прямого угла (АОВ ) называется острым .
Всякий угол (AOD ) больший прямого называется тупым.
Что такое угол?
Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол
, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, - вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОБ, а его вершиной - точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.
При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой - названием его вершины.
Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О».
Вместо слова «угол» пишут знак .
Например, AОВ, O.
На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки М и Н - на сторонах угла.
Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.
Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.
Например, на рисунке 162 ABC = MNK.
Из вершины угла СОК (рис. 163) проведен луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла - СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.
Пишут: COP < COK и POK < COK.
Прямой и развернутый угол
Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла (рис. 164).
Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развернутый угол (рис. 165).
Согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его (рис. 166).
Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.
Прямым углом называют половину развернутого угла.
Чертежный треугольник
Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником (рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОЛ, надо:
а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;
б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.
В результате получим прямой угол АОВ.
Вопросы к теме
1.Что такое угол?
2.Какой угол называют развернутым?
3.Какие углы называют равными?
4.Какой угол называют прямым?
5.Как строят прямой угол с помощью чертежного треугольника?
Нам с вами уже известно, что любой угол делит плоскость на две части. Но, в случае, если у угла его обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. То есть, у развернутого угла одна его сторона является продолжением его другой стороны угла.
Теперь давайте посмотрим на рисунок, на котором как раз и изображен развернутый угол О.
Если мы возьмем и проведем из вершины развернутого угла луч, то он разделит данный развернутый угол еще на два угла, которые будут иметь одну общую сторону, а другие два угла будут составлять прямую. То есть, с одного развернутого угла мы получили два смежных.
Если мы возьмем развернутый угол и проведем биссектрису, то эта биссектриса разделит развернутый угол на два прямых угла.
А, в том случае, если мы из вершины развернутого угла проведем произвольный луч, который не является биссектрисой, то такой луч разделит развернутый угол на два угла, один из которых будет острым, а другой тупым.
Свойства развернутого угла
Развернутый угол обладает такими свойствами:
Во-первых, стороны развёрнутого угла являются антипараллельными и образуют прямую;
во-вторых, развернутый угол равен 180°;
в-третьих, два смежных угла образуют развернутый угол;
в-четвертых, развернутый угол составляет половину полного угла;
в-пятых, полный угол будет равен сумме двух развёрнутых углов;
в-шестых, половина развернутого угла составляет прямой угол.
Измерение углов
Чтобы измерить любой угол, для этих целей чаще всего используют транспортир, у которого единица измерения равна одному градусу. При измерении углов следует помнить, что любой угол имеет свою определенную градусную меру и естественно эта мера больше нуля. А развернутый угол, как нам уже известно, равен 180 градусам.
То есть, если мы с вами возьмем любую плоскость круга и разделим ее радиусами на 360 равных частей, то 1/360 часть данного круга будет являться угловым градусом. Как вы уже знаете, что градус обозначается определенным значком, который имеет такой вид: « ° ».
Теперь мы также знаем, что один градус 1° = 1/360 части круга. Если угол равен плоскости круга и составляет 360 градусов, то такой угол является полным.
А теперь мы возьмем, и плоскость круга поделим с помощью двух радиусов, лежащих на одной прямой линии, на две равные части. То в этом случае, плоскость полукруга составит половину полного угла, то есть 360: 2 = 180°. Мы с вами получили угол, который равен полуплоскости круга и имеет 180°. Это и есть развернутый угол.
Практическое задание
1613. Назовите углы, изображенные на рисунке 168. Запишите их обозначения.
1614. Начертите четыре луча: ОА, ОВ, ОС и OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи делят плоскость ?
1615. Укажите, какие точки на рисунке 169 лежат внутри угла КОМ, Какие точки лежат вне этого угла? Какие точки лежат на стороне OK, a какие - на стороне ОМ?
1616. Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.
1617. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на угол АОВ, за следующие 10 мин - на угол ВОС, а еще за 15 мин - на угол COD. Сравните углы АОВ и ВОС, ВОС и COD, АОС и АОВ, АОС и COD (рис. 170).
1618. Изобразите с помощью чертежного треугольника 4 прямых угла в разных положениях.
1619. С помощью чертежного треугольника найдите на рисунке 171 прямые углы. Запишите их обозначения.
1620. Укажите прямые углы в классной комнате.
а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.
1629. Сколько процентов от 400 составляет число 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?
1630. Найдите пропущенное число:
а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?
1631. Начертите квадрат, сторона которого равна длине 10 клеток тетради. Пусть этот квадрат изображает поле. Рожь занимает 12% поля, овес - 8%, пшеница - 64%, а остальная часть поля занята гречихой. Покажите на рисунке часть поля, занятую каждой культурой. Сколько процентов поля занимает гречиха?
1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года?
1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка.
1635. Найдите с помощью микрокалькулятора:
а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8;
б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800.
1636. Решите задачу:
1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день - 35% огорода. Сколько аров осталось еще вскопать?
2) У Сережи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него еще осталось?
1637. Выполните действия:
1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).
1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.
1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК.Какая точка лежит внутри угла АМВ> но вне угла АМК.Какие точки лежат на сторонах угла АМК?
1640. Найдите с помощью чертежного треугольника прямые углы на рисунке 173.
1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь.
1642. Найдите значение выражения:
а) 14,791: а + 160,961: b, если а = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d, если с = 100, d =100.
1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные - во второй. Сколько деталей изготовил рабочий во второй день?
1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке?
1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день - 46% пути, а в третий - остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики?
1646. Найдите, сколько составляют:
а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т;
б) 1% от литра; г) 6% от 80 км.
1647. Масса детеныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детенышем их масса равна 0,9 т?
1648. Во время маневров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат?
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура , что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты.
Вконтакте
Когда изучаются
Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам :
- В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
- В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.
Внимание! В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.
Определение и измерение
Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол в планиметрии.
Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:
- вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита;
- стороны – полупрямые, проведенные из вершины.
Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части :
- внутренняя — в планиметрии не превышает 180 градусов;
- внешняя.
Принцип измерения углов в планиметрии объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.
Важно! Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.
Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.
Основные виды
Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.
По величине
Учитывая величину, углы разделяют на:
- развернутый;
- прямой;
- тупой;
- острый.
Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.
Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?
180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам . Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.
Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.
Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми. По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.
Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.
Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.
Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии — «основное свойство измерения».
При разделении угла одним лучом или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.
На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.
Фигуры при пересечении прямых
Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.
Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов .
Элементы в треугольнике
Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними .
Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.
Пересечение двух прямых секущей
Пересечение прямых
При пересечении двух прямых секущей также образуются углы , которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:
- внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
- внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
- соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.
В том случае, когда секущая пересекает две прямые, все эти пары углов имеют определённые свойства:
- Внутренние накрест лежащие и соответственные фигуры между собой равны.
- Внутренние односторонние элементы в сумме дают 180 градусов.
Изучаем углы в геометрии, их свойства
Виды углов в математике
Вывод
В этой статье представлены все основные виды углов, которые встречаются в планиметрии и изучаются в седьмом классе. Во всех последующих курсах свойства, касающихся всех рассмотренных элементов, являются основой для дальнейшего изучения геометрии. К примеру, изучая , необходимо будет вспомнить все свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. При изучении особенностей треугольников, необходимо вспомнить, что такое смежные углы. Перейдя в стереометрию, все объёмные фигуры будут изучаться и строиться, опираясь на планиметрические фигуры.
Угловая мера
Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах - отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах - отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.
1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .
В морской терминологии углы обозначаются румбами .
Типы углов
Смежные углы - острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)
Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Полный угол" в других словарях:
Неузаконенная внесистемная ед. плоского угла. 1 П. у.= 2ПИ рад 6.283 185 рад (см. Радиан) … Большой энциклопедический политехнический словарь
Угол вертикальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется приборами центрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь
Угол горизонтальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется ߑؐѐޑАܐؠцентрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь
полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора - полный механический угол поворота Полный угол поворота подвижной системы переменного резистора от упора до упора. Примечание Для резисторов, не имеющих упоров, полный механический угол равен максимальному углу между двумя положениями подвижной… … Справочник технического переводчика
Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора - 52. Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора Полный механический угол поворота D. Mechanischer Drehwinkel E. Total mechanical rotation F. Course mécanique totale Полный угол поворота подвижной системы переменного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
УГОЛ - (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… … Большая политехническая энциклопедия
УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь
Элементы: Drop прыжок с высоты, выполняется с места или из позиции cat leap. Амортизировать падение можно только ногами, или ногами и руками (ну или одной рукой). Spring прыжок через какое либо препятствие, не касаясь его. Например, перелёт через … Википедия
Идти в полную. Жарг. угол. Признаваться в совершении преступления. Балдаев 1, 169. Два полных, третий не целый. Новг. Ирон. О небольшом количестве людей где л. НОС 2, 76 …
Жарг. угол. Одобр. Всё в порядке, дела идут хорошо. Б., 159; Быков, 202. /i> Вероятно, из идиш или иврита, где слово является оценкой высшего качества. Елистратов 1994, 537 … Большой словарь русских поговорок