Функции Бесселя (Бесселевые или цилиндрические функции). Функции бесселя Нули функции бесселя

Бесселевыми, или цилиндрическими, функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J ν (z ), функции Неймана N ν (z ), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y ν (z ), и функции Ганкеля H ν (1) (z ), H ν (2) (z ). Названные функции при фиксированном
являются аналитическими функциямиz . Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν . При этом они являются целыми функциями комплексной переменной ν .

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора
.

Между функциями J ν (z ), N ν (z ) или Y ν (z ), H ν (1) (z ), H ν (2) (z ) существуют зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

; .

С физической точки зрения, гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда
, гдеa m и a – подлежащие определению коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

;
, (6.14)

которые при
являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13). Если ν= n , то между функциями J п (z ) и J –п (z ) существует линейная зависимость вида
. Чтобы получить общее решение уравнения (6.13) дляν = n и вводится функция Неймана . ФункцииJ ν (z ) и N ν (z ) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v , в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя). Если считать, что
, гдеx – вещественная переменная, то подставляя это значение в (6.14), получим:

;
.

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

;
. (6.15)

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными, определяет резкое различие в их поведении (см. рис. 6.9 и 6.10, на которых представлены графики функций J n (x ) и I n (x ) соответственно).

Далее будем считать аргумент функции Бесселя вещественным числом х . Правило дифференцирования функций Бесселя определяется следующим рекуррентным соотношением:
. В частности, при
с учётом того, что
, получим:
.

Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением

. (6.16)

Аналогичные формулы справедливы и для модифицированных функций Бесселя:

;
.

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I  n (x ) = I n (x ) и, следовательно,
.

При полуцелом значке
, гдеn – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения
и
, что позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить
, и так далее.

Общие выражения для функций Бесселя полуцелого значка имеют вид
и
, где символ
означаетп- кратное дифференцирование стоящего за ним выражения с умножением результата на
после каждого дифференцирования.

Последующее дифференцирование проводится с учетом этого множителя. Например,

Приведенные выражения еще раз подчеркивают осциллирующий и слабозатухающий характер поведения функций Бесселя.

При изучении асимптотического поведения функции Бесселя рассматривают разные сценарии поведения аргумента z и значка v . Наиболее интересным и простым является случай, когда v фиксировано, а
. В этом случае первое приближение для
имеет вид

и, соответственно,
.

Особенностью функций Бесселя является увеличение с ростом v промежутка
на котором функция Бесселя близка к нулю.

Важную роль в изучении функций Бесселя играют производящие функции. Так, например, если разложить функцию
комплексной переменнойz и вещественной t в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки z = 0, то получим
.

Полагая
и записывая условия равенства комплексных чисел, получим два важных для практики разложения:

откуда следует, что

;
. (6.17)

Пользуясь тем, что
и учитывая четность косинуса и нечетность синуса, эти выражения можно записать в виде

;
.

Если заменить в этих выражениях на
, то получим

;
.

Эти разложения носят имя Якоби, впервые их получившего.

Умножая левую и правую части первого равенства (6.17) на
, а вторую на
и интегрируя от 0 до, получим:

Складывая эти равенства, находим, что при любом п :

Этот интеграл, который можно рассматривать как интегральное представление функции Бесселя с целым значком, называется интегралом Бесселя. При п = 0 интеграл Бесселя обращается в интеграл Парсеваля:

Для произвольного значка v при условии
справедлива формула Пуассона

Убедиться в том, что при v = 0 мы получим интеграл Парсеваля, предлагается читателю самостоятельно.

Для модифицированных функций Бесселя
при
справедливо интегральное представление Пуассона

Приv = 0 с помощью замены переменной
можно получить интегральное представление

Во многих задачах оказываются полезными теоремы сложения для бесселевых (цилиндрических) функций, простейшей из которых является следующая.

Пусть
– стороны треугольника, приведенного на рис. 6.11, аи– его углы, лежащие против сторонитак, что в соответствии с теоремами косинусов и синусов
и
. Тогда для
имеет место разложение вида

называемое формулой Неймана, где
– символ Неймана.

Поскольку при замене R  R , r 1  r 1 , r 2  r 2 углы  и  не изменятся, то приведенную выше формулу можно записать в следующем виде:

При  = j с учетом того, что J k (x ) = j k I k (x ), k = 0, 1, 2, …, получим:

Для произвольного значка v теоремы сложения для J v (R ) и I v (R ) примут вид:

Нули цилиндрических функций и разложение функций в ряды Фурье  Бесселя. Как уже отмечалось, нули базовой или материнской функции определяют масштабный коэффициент при построении базисной системы на основе функций Бесселя. Рассмотрим уравнение
. Корни этого уравнения называются нулями функции Бесселя
и обозначаются как

Нули функций Бесселя
и
перемежаются. Можно показать , что система функций
, где
–n -й корень уравнения
, ортогональна на промежутке
с весомx , т. е.

Так как нули соседних по индексу функций Бесселя перемежаются, то
.

Если функция f (x ) кусочно-непрерывна и обладает ограниченным изменением в любом интервале (c , d ), удовлетворяющем условию 0 < c < d < a , и

существует интеграл
, то ряд Фурье–Бесселя
, где
, сходится и имеет сумму, т. е. совпадает с
в каждой точке ее непрерывности.

Приведем пример использования функций Бесселя в типичной задаче радиотехники.

Спектр частотномодулированного (ЧМ) колебания при гармоническом законе модуляции. Найдем спектр сигнала, мгновенная частота которого равна, где
– девиация частоты,
– несущая частота,
– частота модуляции. Так как фаза колебания
, то в нашем случае
. Отношение
называется индексом модуляции. Как мы увидим из дальнейшего, именно он определяет структуру спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции.Произвольную постоянную – начальную фазу  без потери общности можно положить равной нулю. Таким образом, исследуемый сигнал имеет вид:

где
– амплитуда колебания.

Используя известную формулу , запишем наш сигнал в виде

Применяя разложения (6.17) и упомянутую тригонометрическую формулу, получим окончательное выражение для спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции:

Таким образом, спектр исследуемого сигнала имеет дискретный характер, причем амплитуды гармоник определяются номером n и индексом модуляции. Учитывая осциллирующий характер поведения функций Бесселя, отметим что при изменении индекса модуляции меняются соотношения между амплитудами гармоник.

Обращаясь к рис. 6.9, нетрудно заметить, что при
отличными от нуля будут лишь функции
,
и
; напомним что
и
отличаются только знаком. Таким образом, при

Если к этому добавить, что при
можно полагать
и
, то окончательно получим:

Следует заметить, что такой же амплитудный спектр имеет амплитудномодулированное колебание с гармоническим законом модуляции. Убедиться в этом мы предлагаем читателю.

С ростом индекса модуляции число отличных от нуля гармоник растет и спектр колебания расширяется. Так как высокое качество ЧМ-передач можно обеспечить при больших индексах модуляции, то становится понятным, почему качественное стереовещание ведется в УКВ-диапазоне, а не на длинных и средних волнах.

Интегральный оператор Фредгольма вида
, где ядром
являются функции Бесселя или связанные с ними функции, определяет преобразование Бесселя. Одним из наиболее часто используемых частных случаев этого преобразования является преобразование Ганкеля

, .

Обратный оператор (формула обращения) имеет вид

С другими случаями применения преобразования Бесселя можно познакомиться с помощью .

Для того чтобы перейти к решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, по и в очень большом числе других задач.

Параметр k, входящий в уравнение (10.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее простые случаи, когда и так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нулевого и первого порядков.

Для общего изучения бесселевых функций мы отсылаем читателя к специальным руководствам (см., например, . Таким образом, общее выражение цилиндрической функции, пригодное при любых значениях , будет

Функции Бесселя второго рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и функции первого рода, именно:

(3.9)

При , отличном от целого числа, справедливость этих формул вытекает из определения функции Бесселя второго рода и соответствующих формул для функций первого рода. Для целого требуемый результат следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к значку , что позволяет осуществить в соотношениях (3.9) предельный переход

Отметим еще формулу

(3.10)

являющуюся следствием (3.7) и позволяющую свести вычисление функций с отрицательным целым значком к вычислению функций, индекс которых положителен.

При помощи замены переменных в уравнении (3.1) легко получить ряд других дифференциальных уравнений, общий интеграл которых может быть выражен через цилиндрические функции. Наиболее интересные для приложений уравнения этого типа являются различными частными случаями дифференциальных уравнений

(3.11)

общие интегралы которых соответственно будут:

(3.12)

где обозначает произвольную цилиндрическую функцию.

4 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком

Для того чтобы получить разложение в ряд функции , достаточно воспользоваться формулой (3.7) и вычислить производные по значку , исходя из разложения (2.1), причем, ввиду соотношения (3.10), можно ограничиться рассмотрением случая целых положительных

Так как ряд (2.1), по доказанному, сходится равномерно по отношению к , мы можем дифференцировать его почленно и получим тогда

где – логарифмическая производная гамма-функции.

Аналогично имеем

При и поэтому первые членов ряда принимают неопределенный вид. Воспользовавшись известными формулами теории гамма-функции

;

получим для таких

где введен новый значок суммирования

Из формулы (3.7) следует, что искомое разложение функции Бесселя второго рода с целым положительным значком имеет вид

где в случае первую сумму надлежит положить равной нулю.

Значения логарифмической производной гамма-функции могут быть вычислены по формулам:

(4.2)

где – постоянная Эйлера,

Принимая во внимание равенство (1.2), мы можем представить разложение (4.1) в несколько другом виде, именно:

(4.3)

Из (4.1) вытекает, что при справедливы асимптотические формулы

(4.4)

показывающие, что когда

5 Функции Бесселя третьего рода

К цилиндрическим функциям относятся также функции Бесселя третьего рода или функции Ханкеля и , которые для произвольного и , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль полуоси , определяются при помощи формул

где – функции Бесселя первого и второго рода.

Целесообразность введения этих функций обусловлена тем, что рассматриваемые линейные комбинации из и обладают наиболее простыми асимптотическими разложениями при больших (пункт 8) и часто встречаются в приложениях.

Из определения функций Ханкеля следует, что эти функции представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом и целые функции . Очевидно, что рассматриваемые функции линейно независимы между собой и по отношению к , так что общий интеграл уравнения Бесселя (3.1) может быть, наряду с (3.8), представлен в одной из следующих форм:

где – произвольные постоянные.

Являясь линейными комбинациями функций и , функции Ханкеля удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и эти функции, например,

(5.3)

Если с помощью (3.5) исключить из (5.1) функцию Бесселя второго рода, то получим

(5.4)

откуда вытекают важные соотношения:

6 Функции Бесселя мнимого аргумента

С функциями Бесселя тесно связаны две часто встречающиеся в приложениях функции и , которые для , принадлежащего плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси и произвольного , могут быть определены при помощи формул:

(6.1)

(6.2)

и при целом

(6.3)

Повторяя рассуждения пункта 2, получаем, что и представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом и целые функции .

Рассматриваемые функции просто связаны с функциями Бесселя от аргумента .

Действительно, предположим, что . Тогда и из (2.1) следует

(6.4)

для всех

Аналогично из формулы (5.4) получаем для таких же

(6.5)

Для значений функции и могут быть выражены через функции Бесселя от аргумента . Мы имеем

(6.6)

для всех .

На основании полученных соотношений функции и называются функциями Бесселя мнимого аргумента. Функция известна в литературе также под названием функции Макдональда.

Из выведенных формул непосредственно следует, что рассматриваемые функции представляют собой линейно независимые решения дифференциального уравнения

(6.7)

которое отличается от уравнения Бесселя только знаком одного члена и переходит в него при подстановке .

Уравнение (6.7) часто встречается в математической физике. Общий интеграл этого уравнения при произвольном может быть записан в виде

Функции и удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям:

(6.9)

Рекуррентные формулы, содержащие функции , доказываются подстановкой в них ряда (6.1). Соответствующие формулы для функций при , отличном от целого числа, проверяются путем подстановки в них выражения (6.2) и использования формул первой группы. Справедливость последних соотношений при целом следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к значку.

Укажем еще две полезные формулы:

(6.10)

первая из которых вытекает из (6.1), если принять во внимание, что при первые членов разложения обращаются в нуль, в то время как вторая является прямым следствием определения функции Макдональда (6.2).

Разложение функции при может быть получено из (6.3) методом пункта 5. Приведем окончательный результат вычисления:

Здесь – логарифмическая производная гамма-функции, значения которой могут быть найдены по формулам (4.2). Для случая первую из сумм надлежит считать равной нулю.

Из (6.11) вытекает, что асимптотическое поведение функции при определяется формулами

(6.12)

7 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

Специальный класс цилиндрических функций образуют цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа. В рассматриваемом случае цилиндрические функции могут быть выражены через элементарные функции. Чтобы показать это, найдем предварительно значения функций , для чего положим в (2.1) и воспользуемся для преобразования рядов формулой удвоения гамма-функции

Мы получим тогда

(7.1)

и аналогично

(7.2)

Возможность выразить функцию Бесселя первого рода с любым полуцелым значком через элементарные функции следует теперь из рекуррентной формулы (2.5)

пользуясь которой можно последовательно получить:

Общее выражение для через элементарные функции получается из формул (2.7). Например, если положить во второй из них и воспользоваться результатом (7.1), то находим:

(7.3)

Соответствующие формулы для функций Бесселя второго и третьего рода могут быть выведены из найденных соотношений, если воспользоваться выражениями этих функций через функции Бесселя первого рода (3.5 и 5.4). Например, мы имеем:

(7.4)

В заключение укажем на формулы:

(7.5)

вытекающие из определений рассматриваемых функций (6.1 – 6.2).

Формулы для других полуцелых значений индекса получаются из этих формул с помощью рекуррентных соотношений (6.9). Лиувиллем доказано, что случай полуцелого индекса является единственным, когда цилиндрические функции приводятся к элементарным.

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях и фиксированном значении индекса . Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции.

Из цилиндрических функций наиболее простые асимптотические представления имеют функции третьего рода.

Чтобы получить асимптотическое представление функции , воспользуемся равенством

(8.1)

и преобразуем его с помощью подстановки . Тогда получим

(8.2)

Заменяя множитель биноминальным разложением с остаточным членом

и интегрируя почленно, находим

(8.3)

где

Предположим, что ( – произвольное малое положительное число) и будем временно считать, что выбрано так, что Оценка остаточного члена по модулю тогда дает

при фиксированном

Таким образом, для больших

(8.4)

Покажем, что условие, наложенное на , может быть отброшено. Действительно, если , то можно выбрать такое , что . Представив с помощью формулы (8.4), где заменено на , и замечая, что

мы снова приходим к прежнему результату.

Также легко с помощью соотношения освободиться от ограничения, наложенного на параметр .

Наконец, если воспользоваться вместо (8.1) интегральным представлением несколько более общего вида, можно показать, что найденная асимптотическая формула остается справедливой в более широком секторе .

Таким образом, окончательно для больших

(8.5)

Асимптотическое представление для функции получается аналогичным способом из формулы

(8.6)

и имеет следующий вид:

(8.7)

Асимптотические представления для цилиндрических функций первого и второго рода следуют из выведенных формул (8.5) и (8.7) и соотношений (5.1). Мы находим

(8.8)

(8.9)

Асимптотические формулы для модифицированных цилиндрических функций могут быть получены с помощью соотношений пункта 6.

Окончательные формулы имеют следующий вид:

(8.10)

знак соответствует

При условии, что , второе слагаемое в (8.10) будет мало, и эта формула может быть записана в виде

Из (8.5) и (8.7 – 8.12) следует, что расходящиеся ряды, получающиеся, если формально положить , являются асимптотическими для функций, стоящих в левых частях рассматриваемых равенств.

Способ, при помощи которого выведены рассматриваемые формулы, дает только порядок величины остаточного члена, но не позволяет сделать более точных заключений. При специальных предположениях относительно и можно, путем некоторого видоизменения рассуждений, получить значительно более точные результаты. Так, например, можно показать, что если и – вещественные положительные числа и число взято настолько большим, что то остатки асимптотических разложений для и будут численно меньше первых отбрасываемых членов. В асимптотическом представлении для тот же результат имеет место при .

9 Нули цилиндрических функций

При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей цилиндрических функций на плоскости комплексного переменного и уметь приближенно вычислять их значения.

Распределение нулей функций Бесселя с целым положительным значком, т. е. решений уравнения

устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Функция не имеет комплексных нулей и имеет бесконечное множество вещественных нулей, расположенных симметрично относительно точки , которая, в случае принадлежит к их числу. Все нули функции – простые, за исключением точки , которая при является соответственно нулем кратности .

Распределение нулей функций Бесселя с произвольным вещественным индексом , т. е. решений уравнения

– вещественно, (9.2)

дается более общей теоремой 5.

Теорема 5. Функция – любое вещественное число) имеет бесконечное множество вещественных положительных нулей и конечное число комплексных сопряженных нулей, где, в зависимости от значения параметра ,

(1) если или

(2) при

Если среди комплексных нулей имеется пара чисто мнимых.

Все нули функции простые, исключая, может быть, точку .

В математической физику часто встречается уравнение

(где и – заданные вещественные числа, ), которое можно рассматривать как обобщение уравнения (9.2). При указанном ограничении параметра рассматриваемое уравнение имеет бесконечное множество положительных корней и не имеет комплексных корней, за исключением случая , когда это уравнение имеет два чисто мнимых корня.

Распределение нулей функции может быть выведено из теоремы 5 с помощью соотношений пункта 6. В частности, отметим важный результат, что при все нули функции чисто мнимые. Функция Макдональда при вещественном не имеет нулей в области . Нули функции, лежащие в остальной части разрезанной плоскости, комплексные сопряженные и число их конечно.

Для приближенного вычисления корней уравнений, содержащих цилиндрические функции, применяется метод последовательных приближений, причем за хорошее начальное приближение во многих случаях могут быть приняты корни уравнений, получающихся из исходных при замене цилиндрических функций их асимптотическими представлениями.

10 Пример

Решить дифференциальное уравнение:

В данном уравнении сделаем замену

где

Следовательно,

Подставим найденные производные в исходное уравнение, получим:

Умножим на :

Пусть , тогда получим:

Разделим на :

Исходя из общего вида уравнения Бесселя (1) следует, что .

Общее выражение цилиндрической функции для на основании формулы (1.14) представляет линейную комбинацию построенных решений:

где и – произвольные постоянные.

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид:

Заключение

В данной курсовой работе были изучены функции Бесселя (уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя), основные свойства вышеуказанных функций и решено дифференциальное уравнение с использованием функций Бесселя.

Список литературы

1. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения (2-е изд.). – М.-Л.: ГИФМЛ, 1963г. – 359с.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа, учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1983г. – 336с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1966г. – 296с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1985г. – 560с.

5. G.N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions. 1945. (Имеется перевод: Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций: Пер. со 2-го англ.изд. / Авт.предисл. В.С. Берман. – М.: ИЛ, 1949г. – 798с.)

6. Сабитов К.В. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Высшая школа, 2005г. – 671с.

7. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1962г. – 249с.

8. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. – М.: ИЛ, 1960г. – 897с.

9. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971г. – 287с.

10. Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. – Л.-М.: ГТТИ, 1933г. – 152с.

В соответствии с условиями сходимости этот ряд сходится во всех точках кроме точки t = 0, где он равен полусумме левого и правого пределов в этой точке . Это действительно так, потому что .

6.5. Функции Бесселя

Бесселевыми или цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

, (6.13)

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J ν (z ), функции Неймана N ν (z ), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y ν (z ), и функции Ганкеля H ν (1) (z ), H ν (2) (z ). Названные функции при фиксированном являются аналитическими функциями z . Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν . При этом она является целой функцией комплексной переменной ν .

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора .

Между функциями J ν (z ), N ν (z ) или Y ν (z ), H ν (1) (z ), H ν (2) (z ) имеют место зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

; .

С физической точки зрения гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда , где a m и a – подлежащие определению коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

; , (6.14)

которые при являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13).

Если ν = n , то между функциями J п (z ) и J –п (z ) существует линейная зависимость вида .

Для получения общего решения уравнения (6.13) для ν = n и вводится функция Неймана

Функции J ν (z ) и N ν (z ) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v , в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя).

; .

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

; . (6.15)

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными определяет резкое различие в их поведении (см. рис.6.9 и рис.6.10, на которых представлены графики функций J n (x ) и I n (x ) соответственно).

В частности, при с учётом того, что , получим:

Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением

. (6.16)

Аналогичные формулы имеют место и для модифицированных функций Бесселя:

; .

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I -n (x ) = I n (x ) и, следовательно, .

При полуцелом значке , где n – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения и , что позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить и так далее.

ФункциЯ Бесселя первого рода

Описывает радиальную зависимость в задачах колебаний, волн, теплопроводности, диффузии, теории потенциала.

При функция Бесселя называется цилиндрической функцией . В цилиндрических координатах является фурье-образомn -ого порядка по угловой переменной для гармонической волны.

Множество с одинаковым μ образует ортонормированный базис с непрерывным спектром по параметру .

исследовал Даниил Бернулли в 1732 г.

ввел Леонард Эйлер в 1764 г.

Фридрих Вильгельм Бессель составил таблицы J 0 , J 1 , J 2 для описания движения планет в 1824 г.

Название функциям дал Оскар Шлемильх в 1857 г.

Даниил Бернулли (1700–1782) Леонард Эйлер (1707–1783)

Фридрих Вильгельм Бессель (1784–1846)

Бессель – профессор Кенигсбергского университета, самостоятельно изучил математику и астрономию, в гимназии и в университете не учился. Исследовал комету Галлея, основал обсерваторию в Кёнигсберге, измерил расстояния до звезд по их параллаксам, провел геодезическую съемку территории Восточной Пруссии . Его именем назван кратер на Луне .

Уравнения Бесселя и Ломмеля

Функция Бесселя является частным решениемуравнения Бесселя

. (8.1)

Для расширения области применимости уравнения Бесселя усложняем его заменой аргумента и функции, и вводим новые параметры . Это дает уравнение Ломмеля

. (8.2)

Подстановка в (8.2)

преобразует (8.2) в (8.1) с аргументом z . При , уравнение (8.2) переходит в (8.1).

В уравнениях (8.1) и (8.2) величина μ имеет вторую степень, поэтому общее решение (8.2) содержит независимые слагаемые, отличающиеся знаком μ:

Уравнение получил Евгений Ломмель (1837–1899) в 1868 г.

Интегральное представление Пуассона

Решение уравнения (8.1) методом факторизации дает интегральное представление Пуассона

, (8.5)

где использована формула Эйлера

и учтена четность функций косинуса и синуса.

Заменяем

, ,

. (8.6)

Из (8.6) при получаем

, (8.7)

Выполняется нормировка

Симеон Дени Пуассон (1781–1840)

Пуассон – математик, механик, физик, профессор Парижского университета, окончил Политехническую школу в Париже. Ввел понятие потенциала в электростатику и получил «дифференциальное уравнение Пуассона », связывающее потенциал системы зарядов с их распределением в пространстве. Для случайной величины доказал «распределение Пуассона ». Установил связь между продольной и поперечной деформациями тела – «коэффициент Пуассона ». Вычислил «интеграл Пуассона », доказал «формулу суммирования Пуассона ». В механике ввел «скобки Пуассона » – перестановочные соотношения для величин. Наполеон возвел его в бароны, Луи-Филипп сделал пэром Франции. Цитата – «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием» .

В частности

Предел x ® 0

Главный вклад в (8.9) при вносит

, (8.11)

Предел x ® ¥

Используем уравнение Ломмеля (8.2) и его решение (8.3)

с параметрами , :

Выражаем функцию Бесселя

При получаем уравнение

Находим общее решение

В результате

. (8.12)

При функция периодически проходит через нуль, амплитуда колебаний уменьшается .

Детальный анализ дает значения a и A

. (8.12а)

Нули функции Бесселя

где m – порядковый номер нуля. Для J 0 и J 1 числовой расчет дает

x 0,1 = 2,405; x 0,2 = 5,520; x 0,3 = 8,654; …

x 1,1 = 3,832; x 1,2 = 7,016; x 1,3 = 10,174 …

Нормировка

Выполняется

, (8.14)

. (8.14а)

Доказательство :

Рекуррентное соотношение, которое будет получено далее:

интегрируем по интервалу

, ,

где использовано

, (8.11)

. (8.12а)

Следовательно,

Не зависит от m. Полагаем , учитываем соотношение, которое будет получено в дальнейшем:

и получаем

Площадь под кривой функции Бесселя произвольного порядка равна единице .

Производящая функция

К интегральному представлению Зоммерфельда (8.16)

применяем обратное преобразование Фурье (1.48)

Получаем разложение Фурье по угловой переменной для плоской волны, движущейся под углом φ к оси x :

(8.26)

В (8.26) заменяем

находим производящую функцию

. (8.27)

Ряды функций Бесселя

(8.26)

выделяем вещественную и мнимую части

Учитываем (8.22)

получаем

, (8.28)

. (8.29)

При из (8.28) получаем

. (8.30)

(8.26)

заменяем

, (8.31)

где учтено

В (8.31) выделяем вещественную и мнимую части

, (8.32)

, (8.33)

где учтено

При из (8.32) и (8.33)

, (8.34)

. (8.35)

Рекуррентные соотношения

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

Сравниваем коэффициенты при

Обобщаем на случай произвольного порядка

Замена x на bx дает

. (8.36а)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

Сравниваем коэффициенты при

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на и сворачиваем правую сторону

. (8.40)

5. Симметризуем (8.40)

По индукции

. (8.41)

6. Умножая (8.39) на и сворачиваем правую сторону

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

По индукции

. (8.43)

Частные соотношения

(8.39)

. (8.44)

Из (8.36)–(8.44):

. (8.46)

Условие ортонормированности

образует непрерывный базис с условием ортонормированности

, . (8.48)

Доказательство :

Записываем уравнение Ломмеля

, (8.2)

, (8.3)

при , , и для функций и

Умножаем первое равенство на xv , второе – на xu и вычитаем результаты

Преобразуем левую сторону

Интегрируем по x от 0 до ∞

. (8.47)

Левая сторона на нижнем пределе дает нуль. На верхнем пределе используем (8.12а)

В результате

Учитываем

Для нахождения интегрируем равенство по р от 0 до ∞, меняем порядок интегрирований, и используем условие нормировки

. (8.14)

Получаем

, ,

и доказано (6.48).

При не нулевой вклад в

, . (8.48)

дает только и , тогда

, . (8.49)

Доказательство :

Умножаем (8.49) на , где , и интегрируем по k от 0 до ∞

Меняем порядок интегрирований и учитываем

Внутренний интеграл дает (8.48)

и получаем тождество.

Графики

Сферическая функция Бесселя

, (8.57)

Функция описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k .

Набор при образует ортонормированный базис с непрерывным спектром .

Дифференциальное уравнение

Уравнения для и совпадают, тогда выполняется

Явный вид функции

Используем (8.57)

после замены .

В результате сферическая функция Бесселя

. (8.59)

Свойство четности

Из (8.59) получаем

. (8.61)

Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

. (8.62)

Предел x ® ¥

Используем

(8.12а)

. (8.63)

, (8.57)

получаем

. (8.64)

Предел x ® 0

, (8.11)

Подставляем в (8.57)

при . Из (8.57)

выражаем

получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только , используя , находим

, . (8.67)

Доказательство :

Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

Правая сторона дает тот же результат

где учтено

, , (8.67)

(8.62)

. (8.68)

Рекуррентные соотношения

1. Подставляем (8.57)

при . Получаем

Из (8.70) выражаем

подставляем в последнее равенство, и получаем

. (8.71)

3. Выполняются соотношения

, (8.72)

, (8.74)

. (8.75)

Функция Эйри первого рода

Описывает:

– дифракцию волн,

– состояние квантовой частицы в однородном поле,

– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,

– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.

Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.

Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)

Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на объективе телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется «диск Эйри ».

Уравнение Эйри

Функция Эйри является частным решением (8.76).

Связь с функцией Бесселя

Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля

Общее решение

Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения.

В области отрицательного аргумента уравнение (8.76) получает вид

Совпадает с уравнением Ломмеля с параметрами

Получаем общее решение

Функция Эйри первого рода

Является частным решением (8.79) с коэффициентами

Условия нормировки